微分積分例

$\int 4 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$4 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$4 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

ステップ 6

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

ステップ 7.2

${\tan (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

ステップ 9

簡約します。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$4 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$4 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 12.2

$C + \tan (x) + C$ と $0$ をたし算します。

$4 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 13

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 14

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

ステップ 15

式を簡約します。

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ステップ 15.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

ステップ 15.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

ステップ 16

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

ステップ 17

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 17.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 17.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 17.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 17.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

ステップ 18

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

ステップ 19

定数の法則を当てはめます。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

ステップ 20

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

ステップ 21.2

簡約します。

$4 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

ステップ 22

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$4 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

ステップ 23

$- \tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$4 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

ステップ 24

項を並べ替えます。

$4 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例