微分積分例

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

ステップ 1

${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

ステップ 1.2

$5$ に $9$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{45}$ および $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x^{3} + 7)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

ステップ 2.2

$n = 45$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x^{3} + 7)$ で置き換えます。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{3} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3} + 7$ とします。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3} + 7$ で置き換えます。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{3} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

ステップ 4.4.2

$3$ に $45$ をかけます。

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

ステップ 4.4.3

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$

微分積分 例

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