微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $10$ をかけます。

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.6.2

$4$ と $6$ をたし算します。

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.2.6.3

$10$ から $10$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.1.3.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.1.3.3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.1.3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.1.3.5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.1.3.6

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.1.3.6.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 2}$

ステップ 1.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{\sqrt{8 - 1 \cdot 4} - 2}$

ステップ 1.1.3.7.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{\sqrt{8 - 4} - 2}$

ステップ 1.1.3.7.1.3

$8$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{\sqrt{4} - 2}$

ステップ 1.1.3.7.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 2}$

ステップ 1.1.3.7.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 1.1.3.7.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 3 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.5

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.6

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $\sqrt{4 x - 4} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x - 4}$ を ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.8.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 4$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 4$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.3

総和則では、 $4 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.8.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.12

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.13

$4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.14

$\frac{1}{2}$ と ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.15

$\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $4$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.16

$4$ を ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4 \cdot {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.18

$2$ を $4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.19.1

$2$ を $2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.19.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8.19.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.9.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

ステップ 1.4

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{4 x - 4}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

ステップ 1.5.2

$- 1$ と $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} + \frac{- \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

ステップ 1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 - \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

ステップ 2

関数が左から $\infty$ に右から $- \infty$ に近づくので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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