微分積分例

$\frac{1}{x^{2} + 2 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{2} + 2 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2 x} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot x + 2 x}$

ステップ 4.1.1.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

ステップ 4.1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (x + 2)}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

ステップ 4.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x + 2)$ です。

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.5

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.1.2

$A (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x + 2) + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.3

$2$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.4.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x + 2 A + (B) (x)$

$1 = A x + 2 A + B x$

ステップ 4.1.7

$2 A$ を移動させます。

$1 = A x + B x + 2 A$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 2 A$

ステップ 4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

$1 = 2 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 4.3.1.1

方程式を $2 A = 1$ として書き換えます。

$2 A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 4.3.1.2

$2 A = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1.2.1

$2 A = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

ステップ 4.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

ステップ 4.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

ステップ 4.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$0 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.3

$0 = \frac{1}{2} + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式を $\frac{1}{2} + B = 0$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.3.2

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.4

連立方程式を解きます。

$B = - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

ステップ 4.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

ステップ 4.5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

ステップ 4.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

ステップ 4.5.4

$\frac{1}{x + 2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 2}$

ステップ 4.5.5

$2$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

ステップ 10

$u = x + 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 10.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

微分積分 例

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