微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} d x$

ステップ 1

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 1$

ステップ 1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 1$

ステップ 1.5

$3$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$u^{\frac{4}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{0}^{2} {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.2

${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.2.2

$\frac{4}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

ステップ 2.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{2} u^{\frac{- 4}{3}} d u$

ステップ 2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{0}^{2} u^{- \frac{4}{3}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- \frac{4}{3}}$ の $u$ に関する積分は $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ です。

$- 3 u^{- \frac{1}{3}}]_{0}^{2}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ および $0$ で $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ の値を求めます。

$(- 3 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}) + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.2.5

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.2.6

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 4.2.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.7.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 4.2.7.2

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{1}}$

ステップ 4.2.8

指数を求めます。

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

ステップ 4.2.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

ステップ 4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

ステップ 5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

微分積分 例

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