微分積分例

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

掛け算します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.2.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 5.4

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

微分積分 例

微分積分例