微分積分例

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

ステップ 3

$u = x + 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u = x + 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 4$

ステップ 3.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 3.4

$u = x + 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = t + 4$

ステップ 3.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

ステップ 3.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 4}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ です。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$u^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 3}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$t + 4$ および $4$ で $- \frac{1}{3 u^{3}}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$4$ を $3$ 乗します。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

ステップ 7.2.2

$3$ に $64$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

極限を求めます。

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ステップ 8.1.1

$5$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

ステップ 8.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

ステップ 8.1.3

$\frac{1}{3}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

ステップ 8.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

ステップ 8.3

極限を求めます。

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ステップ 8.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{192}$ の極限値を求めます。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

ステップ 8.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.1.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

ステップ 8.3.2.1.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$5 (0 + \frac{1}{192})$

ステップ 8.3.2.2

$0$ と $\frac{1}{192}$ をたし算します。

$5 (\frac{1}{192})$

ステップ 8.3.2.3

$5$ と $\frac{1}{192}$ をまとめます。

$\frac{5}{192}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{192}$

10進法形式：

$0.026041\overline{6}$

微分積分 例

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