微分積分例

$- x y^{3} - 5 x^{2} = 2 y^{3} + 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} - 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (2 y^{3} + 2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x y^{3} - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.6

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.2.7

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 5 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 10 x$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} - 10 x$

ステップ 2.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} - 10 x$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 10 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 y^{3} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$6 y^{2} y' + 0$

ステップ 3.3.2

$6 y^{2} y'$ と $0$ をたし算します。

$6 y^{2} y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 10 x = 6 y^{2} y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $6 y^{2} y'$ を引きます。

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 10 x - 6 y^{2} y' = 0$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $y^{3}$ を足します。

$- 3 y^{2} x y' - 10 x - 6 y^{2} y' = y^{3}$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $10 x$ を足します。

$- 3 y^{2} x y' - 6 y^{2} y' = y^{3} + 10 x$

ステップ 5.3

$3 y^{2} y'$ を $- 3 y^{2} x y' - 6 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$3 y^{2} y'$ を $- 3 y^{2} x y'$ で因数分解します。

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 6 y^{2} y' = y^{3} + 10 x$

ステップ 5.3.2

$3 y^{2} y'$ を $- 6 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 2 = y^{3} + 10 x$

ステップ 5.3.3

$3 y^{2} y'$ を $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$3 y^{2} y' (- 1 x - 2) = y^{3} + 10 x$

ステップ 5.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' (- x - 2) = y^{3} + 10 x$

ステップ 5.5

$3 y^{2} y' (- x - 2) = y^{3} + 10 x$ の各項を $3 y^{2} (- x - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3 y^{2} y' (- x - 2) = y^{3} + 10 x$ の各項を $3 y^{2} (- x - 2)$ で割ります。

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 2)}{3 y^{2} (- x - 2)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 2)}{3 y^{2} (- x - 2)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y' (- x - 2)}{y^{2} (- x - 2)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y' (- x - 2)}{y^{2} (- x - 2)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- x - 2)}{- x - 2} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.2.3

$- x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x - 2)}{- x - 2} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1

$y^{2}$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.2.1

$y^{2}$ を $3 y^{2} (- x - 2)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 2))} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 2))} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 5.5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{3 (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 2)} + \frac{10 x}{3 y^{2} (- x - 2)}$

微分積分 例

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