微分積分例

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

$x$ について $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 1.2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2.2.2

括弧を削除します。

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2.3

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ の各項に $x^{2} + 1$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ の各項に $x^{2} + 1$ を掛けます。

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3.3.1.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

ステップ 1.2.3.3.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

ステップ 1.2.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

ステップ 1.2.4.1.2

$x^{4} + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{4} + 0 = 4$

ステップ 1.2.4.1.2.2

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} = 4$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

ステップ 1.2.4.3

$\pm \sqrt[4]{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.2

$\sqrt[4]{2^{2}}$ を $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 1.2.4.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 1.3

$x = \sqrt{2}$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ の $\sqrt{2}$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

ステップ 1.3.2.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

ステップ 1.3.2.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

ステップ 1.3.2.2.1.1.5

指数を求めます。

$y = \frac{3}{2 + 1}$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{3}{3}$

ステップ 1.3.2.2.2

$3$ を $3$ で割ります。

$y = 1$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

ステップ 3

積分し、 $- \sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

ステップ 3.3

$- x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- x^{2}$ と $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 3.5.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 3.5.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 3.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

ステップ 3.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

ステップ 3.6

1つの分数にまとめます。

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ステップ 3.6.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7.2

$- x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7.6

$- {(x^{2})}^{2}$ と $2^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.7.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x^{2}$ です。

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.8

分配則を当てはめます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.9

分配則を当てはめます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.10

分配則を当てはめます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.11

式を簡約します。

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ステップ 3.11.1

$x^{2}$ と $2$ を並べ替えます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.11.2

$x^{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.11.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.11.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.12

負をくくり出します。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.14

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.15

$- 2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

$0$ から $x^{4}$ を引きます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.16.2

$4$ と $- x^{4}$ を並べ替えます。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.17

$- x^{4} + 4$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.17.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 3.17.2

被除数 $- x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 3.17.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

ステップ 3.17.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{4} + 0 - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

ステップ 3.17.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

ステップ 3.17.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 3.17.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 3.17.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

ステップ 3.17.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

ステップ 3.17.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

ステップ 3.17.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.18

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.19

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.20

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.21

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.22

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.23

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3.24

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.24.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.24.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 3.25

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ です。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

ステップ 3.26

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.26.1

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.26.1.1

$\sqrt{2}$ および $- \sqrt{2}$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

ステップ 3.26.1.2

$\sqrt{2}$ および $- \sqrt{2}$ で $x$ の値を求めます。

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

ステップ 3.26.1.3

$\sqrt{2}$ および $- \sqrt{2}$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.26.1.4.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.2

$2$ を $3$ 乗します。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.3

$- 1$ を $- \sqrt{2}$ で因数分解します。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.4

積の法則を $- (\sqrt{2})$ に当てはめます。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.6

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.7

$2$ を $3$ 乗します。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.10

$\frac{\sqrt{8}}{3}$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.11

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.12

$\sqrt{8}$ と $\sqrt{8}$ をたし算します。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.13

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

ステップ 3.26.1.4.14

$3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.1.4.15

$3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.1.4.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.1.4.17

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.26.2.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.26.2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.26.3.1

$\arctan (- \sqrt{2})$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.2

$- 1$ に $- 0.95531661$ をかけます。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.3

$\arctan (\sqrt{2})$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.4

$0.95531661$ と $0.95531661$ をたし算します。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.5

$9$ に $1.91063323$ をかけます。

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.6

$- 4 \sqrt{2}$ と $17.19569912$ をたし算します。

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.7

$11.53884487$ を $3$ で割ります。

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

ステップ 3.26.3.8

$3.84628162$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$6.67470875$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例