微分積分例

$f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 5

$u_{1} = \frac{x}{5}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{5} d x$ すると、 $5 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = \frac{x}{5}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{x}{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5}$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{5}} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{5}$ で割ります。

$5 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 5) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 6.2

$5$ に $1$ をかけます。

$5 \int \sin (u_{1}) \cdot 5 d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 6.3

$5$ を $\sin (u_{1})$ の左に移動させます。

$5 \int 5 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 7

$5$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 (5 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 8

$5$ に $5$ をかけます。

$25 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 9

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

ステップ 10

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 11

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

ステップ 14

簡約します。

$- 25 \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{5}$ で置き換えます。

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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