微分積分例

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.1.5

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.3.2

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.2.3.4

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.3.3

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (2 x + 6)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 6$ とします。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 6$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.4

括弧を削除します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $2 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.9

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.10

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.11

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

ステップ 3.12

総和則では、 $3 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.13

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

ステップ 3.15

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$6 \cos (2 x + 6)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

ステップ 4.2

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

ステップ 4.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

ステップ 4.4

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

ステップ 4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

ステップ 4.6

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

ステップ 5

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$6 \cos (- 6 + 6)$

ステップ 6.2

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$6 \cos (0)$

ステップ 6.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$6 \cdot 1$

ステップ 6.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

微分積分 例

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