微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$y$ を $y^{3} - 2 y^{2} - y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.2

$y$ を $- 2 y^{2}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.3

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.4

$y$ を $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ で因数分解します。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.5

$y$ を $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

ステップ 2

$y^{2} - 2 y - 1$ を $y$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

ステップ 2.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

ステップ 2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

ステップ 2.7

被除数 $- 2 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

ステップ 2.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

ステップ 2.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

ステップ 2.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

ステップ 2.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

ステップ 6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

ステップ 7

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ と $- 2 y]_{1}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$3$ および $1$ で $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

ステップ 8.2.2

$3$ および $1$ で $\ln (| y |)$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3

簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.4

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.5

$- 6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.3.7.1

$- 6$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.7.2

$9$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.10

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.11

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.12

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.13

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.15

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.3.15.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.15.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.17

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.18

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.19

$- \frac{3}{2}$ と $\frac{3}{2}$ をたし算します。

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.2.3.20

$0$ から $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ を引きます。

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 8.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

ステップ 8.4.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- \ln (\frac{3}{1})$

ステップ 8.4.3

$3$ を $1$ で割ります。

$- \ln (3)$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \ln (3)$

10進法形式：

$- 1.09861228 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例