微分積分例

$\frac{x}{\ln (x)}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.4

項を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x) - 1$ および $g (x) = \ln^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

${(\ln^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $\ln (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.4.2.2

$\ln^{2} (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.5

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

ステップ 2.6

項を簡約します。

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ステップ 2.6.1

まとめる。

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.6.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.7.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.9

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10

項を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.3

式を簡約します。

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ステップ 2.10.3.1

$- 2$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.4

$x$ と $\frac{2 \ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.10.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.5.2

$2 \ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.10.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.11.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.11.2.3

$- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.11.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.11.2.3.2

$\ln (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

ステップ 2.11.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

微分積分 例

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