微分積分例

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{4} x^{- 2}$ の微分係数は $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ です。

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$- 2$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 6}{4}$ と $x^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.7

$- 6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.3

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.4

$\frac{4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.3.5.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

ステップ 1.4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2 x^{3}}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.4.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.4.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.4.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 2.4.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 2.4.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 2.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 2.4.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

ステップ 2.4.8

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

ステップ 2.4.9

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

ステップ 2.4.10

$3$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

ステップ 2.4.11

$\frac{9}{2}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

ステップ 2.4.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{9}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9}{2 x^{4}}$ の微分係数は $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

ステップ 3.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.4.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.4.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

ステップ 3.4.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

ステップ 3.4.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

ステップ 3.4.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

ステップ 3.4.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

ステップ 3.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

ステップ 3.4.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

ステップ 3.4.8

$- 4$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

ステップ 3.4.9

$- 4$ に $9$ をかけます。

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

ステップ 3.4.10

$\frac{- 36}{2}$ と $x^{- 5}$ をまとめます。

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

ステップ 3.4.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

ステップ 3.4.12

$- 36$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.12.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

ステップ 3.4.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.12.2.1

$2$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

ステップ 3.4.12.2.2

共通因数を約分します。

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

ステップ 3.4.12.2.3

式を書き換えます。

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

ステップ 3.4.13

分数の前に負数を移動させます。

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ です。

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

微分積分 例

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