微分積分例

$x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

ステップ 1

$x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15} d x$

ステップ 4

$u = x^{2} + 7$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x^{2} + 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} + 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.4

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{15} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$u^{15}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{15}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{15} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{15}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{16} u^{16}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{16}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 16} u^{16} + C$

ステップ 8.2.2

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{1}{32} u^{16} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$

微分積分 例

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