微分積分例

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

ステップ 1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $π$ を積分の外に移動させます。

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

ステップ 2

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ とします。次に $d u = - \frac{4}{5} d x$ すると、 $- \frac{5}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{20 - 4 x}{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

ステップ 2.1.2

$4$ を $20 - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

ステップ 2.1.2.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

ステップ 2.1.2.3

$4$ を $4 (5) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 (5 - x)}{5}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ です。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 2.1.4

総和則では、 $5 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.1.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.1.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.1.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.1.9.2

$\frac{4}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

ステップ 2.1.9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4}{5}$

ステップ 2.1.9.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{5}$

ステップ 2.2

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$20 - 4 \cdot 0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$20$ を $- 1 (- 20)$ に書き換えます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ を $- 4 \cdot 0$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

ステップ 2.3.1.3

$- 1$ を $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

ステップ 2.3.1.4

項を並べ替えます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

ステップ 2.3.1.5

$5$ を $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

ステップ 2.3.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.6.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

ステップ 2.3.1.6.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.6.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

ステップ 2.3.1.6.4

$- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

ステップ 2.3.2

$- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ を $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ に書き換えます。

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

ステップ 2.3.3

$0$ に $4$ をかけます。

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

ステップ 2.3.4

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = - - 4$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$u_{lower} = 4$

ステップ 2.4

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$20 - 4 \cdot 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1

$20$ を $- 1 (- 20)$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ を $- 4 \cdot 5$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

ステップ 2.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

ステップ 2.5.1.4

項を並べ替えます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

ステップ 2.5.1.5

$5$ を $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

ステップ 2.5.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.6.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

ステップ 2.5.1.6.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

ステップ 2.5.1.6.4

$- 1 (4 - 4)$ を $1$ で割ります。

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

ステップ 2.5.2

$- 1 (4 - 4)$ を $- (4 - 4)$ に書き換えます。

$u_{upper} = - (4 - 4)$

ステップ 2.5.3

$4$ から $4$ を引きます。

$u_{upper} = - 0$

ステップ 2.5.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

ステップ 3.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{4}{5}$ で割ります。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

ステップ 3.3

$\frac{5}{4}$ に $1$ をかけます。

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

ステップ 3.4

$\frac{5}{4}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

ステップ 5

$\frac{5}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{5}{4}$ を積分の外に移動させます。

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$π$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

ステップ 6.2

$5$ を $π$ の左に移動させます。

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ および $4$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

ステップ 8.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

ステップ 8.2.4

$64$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

ステップ 8.2.5

$- 64$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

ステップ 8.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

ステップ 8.2.7

$0$ から $\frac{64}{3}$ を引きます。

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

ステップ 8.2.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

ステップ 8.2.9

$\frac{5 π}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

ステップ 8.2.10

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{64}{3}$ をかけます。

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.2.11

$64$ に $5$ をかけます。

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.2.12

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{320 π}{12}$

ステップ 8.2.13

$320$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.13.1

$4$ を $320 π$ で因数分解します。

$\frac{4 (80 π)}{12}$

ステップ 8.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.13.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

ステップ 8.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{80 π}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{80 π}{3}$

10進法形式：

$83.77580409 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例