微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.1.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.3.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.3.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

ステップ 1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

ステップ 1.3.7.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

ステップ 1.3.7.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 0}$

ステップ 1.3.7.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.7.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 e^{x} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3.5

$3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $\ln (1 - x) - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.2

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.7

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.8

$\frac{1}{1 - x}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.7.9

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.8.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

ステップ 3.8.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

項をまとめます。

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ステップ 3.9.1.1

$- 3 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x}{1 - x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

ステップ 3.9.1.2

$- 3 x^{2}$ と $\frac{1 - x}{1 - x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

ステップ 3.9.1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

ステップ 3.9.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 5

因数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

ステップ 5.2

$\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 7

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 9

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 10

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 11

指数に極限を移動させます。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

ステップ 12

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 13

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 14

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 15

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 16

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 17

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 18

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 19

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 19.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 19.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

ステップ 19.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 20

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

分子を簡約します。

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ステップ 20.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.1.2

$e^{0}$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.2.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 20.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{1}{0 - 1}$

ステップ 20.2.6

$0$ から $1$ を引きます。

$3 (\frac{1}{- 1})$

ステップ 20.3

$1$ を $- 1$ で割ります。

$3 \cdot - 1$

ステップ 20.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3$

微分積分 例

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