微分積分例

$(\arcsin (e^{5 x}))$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = e^{5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{5 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\arcsin (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{5 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{5 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 2

${(e^{5 x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{5 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$e^{5 x}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 4.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$5$ と $\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ をまとめます。

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \cdot 1$

ステップ 4.5

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$

微分積分 例

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