微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.2.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

ステップ 1.3.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

ステップ 1.3.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

ステップ 1.3.4

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

ステップ 1.3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

ステップ 1.3.6

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.7

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.7.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.3.8

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.8.1.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.3.8.1.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{e^{0} + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.3.8.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.3.8.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.5

$0$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $e^{- 2 - 2 x} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 - 2 x$ とします。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.1.3

$u$ のすべての発生を $- 2 - 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.2

総和則では、 $- 2 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.7

$0$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.7.8

$- 2$ を $e^{- 2 - 2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + 3 x^{2}}$

ステップ 3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 5

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 6

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 7

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 8

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x}}$

ステップ 11

指数に極限を移動させます。

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x}}$

ステップ 12

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

ステップ 13

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

ステップ 14

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

ステップ 15

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

ステップ 15.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

ステップ 16

答えを簡約します。

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ステップ 16.1

分母を簡約します。

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ステップ 16.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

ステップ 16.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

ステップ 16.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 + 2}}$

ステップ 16.1.4

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{0}}$

ステップ 16.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$2 \frac{1}{3 - 2 \cdot 1}$

ステップ 16.1.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1}{3 - 2}$

ステップ 16.1.7

$3$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{1})$

ステップ 16.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{1})$

ステップ 16.2.2

式を書き換えます。

$2 \cdot 1$

ステップ 16.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

微分積分例