微分積分例

$\frac{1}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

$\frac{1}{e^{x} + 1}$ を ${(e^{x} + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + 1$ で置き換えます。

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 3

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

ステップ 5.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} e^{x}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}} e^{x}$

ステップ 6.2

$e^{x}$ と $\frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

微分積分 例