微分積分例

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{4 (x + b)}$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $7$ を ${(x + b)}^{7}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $- b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $10$ を ${(x + b)}^{10}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.7

$x$ が $- b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.8

すべての $x$ に $- b$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$x$ を $- b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.8.2

$x$ を $- b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1

${(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1.1

$- b$ と $b$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.9.1.2

$- b$ と $b$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.9.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.2.9.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $- b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $- b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- b + b}$

ステップ 2.1.3.3

$- b$ と $b$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b} = lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 ${(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x + b$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + b$ とします。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + b$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.2

総和則では、 $x + b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.4

$b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.3.6

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$f (x) = x^{10}$ および $g (x) = x + b$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + b$ とします。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.1.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + b$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.2

総和則では、 $x + b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.4

$b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.4.6

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.5

${(x + b)}^{6}$ を $7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

${(x + b)}^{6}$ を $7 {(x + b)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.5.2

${(x + b)}^{6}$ を $10 {(x + b)}^{9}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} \cdot 10 {(x + b)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.5.3

${(x + b)}^{6}$ を ${(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} (10 {(x + b)}^{3})$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $x + b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]}$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + \frac{d}{d x} [b]}$

ステップ 2.3.8

$b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + 0}$

ステップ 2.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1}$

ステップ 2.4

${(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $6$ を ${(x + b)}^{6}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

ステップ 3.3

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

ステップ 3.4

$x$ が $- b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

ステップ 3.5

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (lim_{x \to - b} 7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

ステップ 3.6

$x$ が $- b$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

ステップ 3.7

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 lim_{x \to - b} {(x + b)}^{3})$

ステップ 3.8

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(x + b)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

ステップ 3.9

$x$ が $- b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{3})$

ステップ 3.10

$x$ が $- b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

ステップ 4

すべての $x$ に $- b$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $- b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

ステップ 4.2

$x$ を $- b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- b$ と $b$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot 0^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

ステップ 5.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

ステップ 5.3

$\frac{1}{4}$ に $0$ をかけます。

$0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

ステップ 5.4

$- b$ と $b$ をたし算します。

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0^{3})$

ステップ 5.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0)$

ステップ 5.5.2

$10$ に $0$ をかけます。

$0 \cdot (7 + 0)$

ステップ 5.6

$7$ と $0$ をたし算します。

$0 \cdot 7$

ステップ 5.7

$0$ に $7$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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