微分積分例

$\int 5 x^{6} \ln (2 x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (2 x)$ と $d v = 5 x^{6}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (2 x) (\frac{5}{7} x^{7}) - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{5}{7}$ と $x^{7}$ をまとめます。

$\ln (2 x) \frac{5 x^{7}}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (2 x)$ と $\frac{5 x^{7}}{7}$ をまとめます。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{5}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{5}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{7} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{7}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{7}}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x^{7}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{6}}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x^{6}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{6} d x)$

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} \int x^{6} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$ を $\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$ に書き換えます。

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{5}{7}$ と $\ln (2 x)$ をまとめます。

$\frac{5 \ln (2 x)}{7} x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{5 \ln (2 x)}{7}$ と $x^{7}$ をまとめます。

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{7}$ に $\frac{5}{7}$ をかけます。

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7 \cdot 7} x^{7} + C$

ステップ 6.2.4

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$

微分積分 例

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