微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{15 ({(h - 8)}^{2} - 64)}{h}$

ステップ 1

$15$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(h - 8)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $64$ の極限値を求めます。

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$15 \frac{{(0 - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$15 \frac{{(0 - 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$0$ から $8$ を引きます。

$15 \frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$- 8$ を $2$ 乗します。

$15 \frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$15 \frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.2

$64$ から $64$ を引きます。

$15 \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$15 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$15 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2

${(h - 8)}^{2}$ を $(h - 8) (h - 8)$ に書き換えます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 8) (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(h - 8) (h - 8)$ を展開します。

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ステップ 2.3.3.1

分配則を当てはめます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 8) - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.2

分配則を当てはめます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3.3

分配則を当てはめます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1.1

$h$ に $h$ をかけます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4.1.2

$- 8$ を $h$ の左に移動させます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 \cdot h - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4.1.3

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 h - 8 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4.2

$- 8 h$ から $8 h$ を引きます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 16 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.5

総和則では、 $h^{2} - 16 h + 64 - 64$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]$ です。

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7

$\frac{d}{d h} [- 16 h]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.7.1

$- 16$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- 16 h$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8

$64$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.9

$- 64$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 64$ の微分係数は $0$ です。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.10

項をまとめます。

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ステップ 2.3.10.1

$2 h - 16$ と $0$ をたし算します。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.10.2

$2 h - 16$ と $0$ をたし算します。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

ステップ 2.4

$2 h - 16$ を $1$ で割ります。

$15 lim_{h \to 0} 2 h - 16$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$15 (lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16)$

ステップ 3.2

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$15 (2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16)$

ステップ 3.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$15 (2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16)$

ステップ 4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$15 (2 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$15 (0 - 1 \cdot 16)$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$15 (0 - 16)$

ステップ 5.2

$0$ から $16$ を引きます。

$15 \cdot - 16$

ステップ 5.3

$15$ に $- 16$ をかけます。

$- 240$

微分積分 例

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