微分積分例

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{\frac{1}{x^{2}}}$ を $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

ステップ 3.5

因数をまとめます。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

ステップ 3.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

ステップ 3.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 6.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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