微分積分例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.1.3

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.11

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.12

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.15

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.15.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.15.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.15.3

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.15.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.17

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.19

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.20

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.21

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.21.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.21.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.21.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.22

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.23

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.24

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.25

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.25.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.25.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.25.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.25.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.26

${(x^{2} + 1)}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.27

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.28

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.29

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ を積として書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.30

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.1.31

指数を足して ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 1$ を掛けます。

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ステップ 1.1.31.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 1$ をかけます。

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ステップ 1.1.31.1.1

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.1.31.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 1.1.31.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.31.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 1.1.31.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

微分積分例