微分積分例

$x = 2 t - 5$ , $y = t^{2} + 4$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = 2 t - 5$

ステップ 2

方程式を $2 t - 5 = x$ として書き換えます。

$2 t - 5 = x$

ステップ 3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 t = x + 5$

ステップ 4

$2 t = x + 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 t = x + 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

ステップ 5

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2} + 4$

ステップ 6

${(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2} + 4$ を簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

${(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2}$ を $(\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2})$ に書き換えます。

$y = (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

ステップ 6.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2})$ を展開します。

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ステップ 6.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

ステップ 6.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

ステップ 6.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1.1

$\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1.1.1

$\frac{x}{2}$ に $\frac{x}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.2

$\frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1.2.1

$\frac{x}{2}$ に $\frac{5}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot 5}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.3

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 \cdot x}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.4

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1.4.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{x}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.5

$\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1.5.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{5}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.5.2

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{25}{2 \cdot 2} + 4$

ステップ 6.1.3.1.5.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + 4$

ステップ 6.1.3.2

$\frac{5 x}{4}$ と $\frac{5 x}{4}$ をたし算します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + 4$

ステップ 6.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{2 (2)} + \frac{25}{4} + 4$

ステップ 6.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} + 4$

ステップ 6.1.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + 4$

ステップ 6.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.3

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25 + 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25 + 16}{4}$

ステップ 6.5.2

$25$ と $16$ をたし算します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{41}{4}$

微分積分 例

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