微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{\tan (2 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.5

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.8

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.9.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.1.2

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 \cdot 1 + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.1.5

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 2 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.1.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.1.7

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.10.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{\tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \cos (8 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (8 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $8 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.3.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.4

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.7

$8$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) \cdot 8) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.8

$8$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3.9

$\cos (8 x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (5 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.5

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.6

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cdot \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.7

$5$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x))) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.5.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.6

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.6.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

ステップ 1.3.10

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4

$- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ を $- 16 x \sin (8 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $2 \cos (8 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 (\cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 (\cos (8 x))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4.4

$2$ を $10 \cos (5 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4.5

$2$ を $2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cos (5 x))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$2$ を $2 \sec^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 (\sec^{2} (2 x))}$

ステップ 1.4.6.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 1.4.6.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} - 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- lim_{x \to 0} 8 x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.3

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.6

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.8

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.9

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.10

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.11

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 2.12

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

ステップ 2.13

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 2.14

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 8$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.2

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 \cdot 0 + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.4

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.5

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + \cos (0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 + 1 + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.7

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 1 + 5 \cos (0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 + 1 + 5 \cdot 1}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.9

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 + 1 + 5}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.10

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 5}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.11

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{6}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{6}{\sec^{2} (0)}$

ステップ 4.2.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{6}{1^{2}}$

ステップ 4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{6}{1}$

ステップ 4.3

$6$ を $1$ で割ります。

$6$

微分積分 例

微分積分例