微分積分例

$f (x) = \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{3}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$3 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$3 (- x^{- 1} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 9.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 9.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 9.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 11.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

ステップ 11.2

簡約します。

$3 (- \frac{1}{x}) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 11.3.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 11.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{3}{x} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 11.3.5

$2$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{3}{x} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 11.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.6.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{x} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 11.3.6.2

式を書き換えます。

$- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C$

微分積分 例

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