微分積分例

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

ステップ 4

$u = 2 + \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = 2 + \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2 + \sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $2 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 + \cos (x)$

ステップ 4.1.4

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1} + C$

ステップ 7

$- u^{- 1} + C$ を $- \frac{1}{u} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $2 + \sin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

微分積分 例

微分積分例