微分積分例

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

ステップ 3.1.2

${(\cos^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

ステップ 3.1.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 3.1.3

$\cos^{6} (t)$ を ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

ステップ 3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 3.2

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$\cos (t)$ を $\cos^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ を $\sec^{2} (t)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$\tan (t) + C$

ステップ 6

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\tan (\arcsin (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例