微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.6

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.7

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 2.8

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 4.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 6.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\sqrt{1}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

ステップ 6.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}$

ステップ 6.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.4

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - \sqrt{0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.5

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1 - 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}$

ステップ 8.2.2

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{1 - \sqrt{0}}$

ステップ 8.2.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 - \sqrt{0^{2}}}$

ステップ 8.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{1 - 0}$

ステップ 8.2.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{1 + 0}$

ステップ 8.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 8.3

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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