微分積分例

$y^{x y}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

$y^{x y}$ を $e^{\ln (y^{x y})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

ステップ 1.2

$x y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (y^{x y})$ を展開します。

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

ステップ 2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y \ln (y)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x y \ln (y)$ で置き換えます。

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

ステップ 3

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y \ln (y)$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ です。

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

ステップ 4

$f (y) = y$ および $g (y) = \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 5

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 6

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$y$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

ステップ 6.4

$\ln (y)$ に $1$ をかけます。

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

ステップ 7.3

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$

微分積分 例

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