微分積分例

$\int_{1}^{2} (\frac{x}{2} - \frac{2}{x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

ステップ 9.1.2

$2$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.6

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.7

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.3.9.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.9.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.10

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.1.3.12

$- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 9.1.3.13

$- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

ステップ 9.1.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

ステップ 9.1.3.15

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 - 8 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{4}$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{1})}{4}$

ステップ 9.3.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

10進法形式：

$- 0.63629436 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例