微分積分例

$\ln (\sqrt{1 + x^{2}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + x^{2}$ とします。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 11

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 12

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 12.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 12.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 13

$2 {(1 + x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 14

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 15

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 16

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (2 x)$

ステップ 18

項を簡約します。

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ステップ 18.1

$2$ と $\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 (1 + x^{2})} x$

ステップ 18.2

$\frac{2}{2 (1 + x^{2})}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

ステップ 18.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

ステップ 18.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{1 + x^{2}}$

ステップ 18.4

項を並べ替えます。

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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