微分積分例

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

ステップ 4

$\cos^{2} (x)$ を因数分解します。

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

ステップ 6

$\sin^{2} (x)$ に $1 - \sin^{2} (x)$ をかけます。

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

ステップ 7

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 7.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 8

$u^{2} (1 - u^{2})$ を掛けます。

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 9.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

$u^{2}$ を移動させます。

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

ステップ 9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

ステップ 9.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

ステップ 9.3

$- 1$ を $u^{4}$ の左に移動させます。

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

ステップ 9.4

$- 1 u^{4}$ を $- u^{4}$ に書き換えます。

$\int u^{2} - u^{4} d u$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

ステップ 12

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

ステップ 13

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 14

簡約します。

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

微分積分 例

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