微分積分例

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$4 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x$

ステップ 7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.4

$- 6$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.5

$- 6$ に $2$ をかけます。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 12}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.6

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.6.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.6.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.6.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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