微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \ln (1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.8.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.8.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.8.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.8.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.7.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.7.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.7.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 \ln (x + 1) + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (x + 1)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.8

$2$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.5.1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 + 2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $4 \sin (x) - 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.8.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 (3 x^{2})}$

ステップ 3.8.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 6 x^{2}}$

ステップ 3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1} \cdot \frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}$ に $\frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

ステップ 5.2

$2 (x + 1) + 2$ と $- 6 x^{2} + 4 \cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2 (1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

ステップ 5.2.2

$2$ を $2 (x + 1) + 2 (1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

ステップ 5.2.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ を $(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

ステップ 5.2.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 1 + 1}{(x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

ステップ 6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

ステップ 7

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

ステップ 8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

ステップ 9

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

ステップ 10

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

ステップ 11

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

ステップ 12

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

ステップ 13

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

ステップ 14

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

ステップ 15

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

ステップ 16

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} \cos (x))}$

ステップ 17

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

ステップ 18

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

ステップ 18.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

ステップ 18.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

ステップ 18.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

ステップ 19

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

ステップ 19.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

ステップ 19.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{1 (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

ステップ 19.2.2

$- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)}$

ステップ 19.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2}{- 3 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

ステップ 19.2.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{0 + 2 \cos (0)}$

ステップ 19.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2}{0 + 2 \cdot 1}$

ステップ 19.2.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{0 + 2}$

ステップ 19.2.7

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2}{2}$

ステップ 19.3

$2$ を $2$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例