微分積分例

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

ステップ 1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

ステップ 1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

ステップ 1.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

ステップ 1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

ステップ 1.4

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

ステップ 1.5

$\frac{x^{4}}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

ステップ 1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$3$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

ステップ 1.7.2

$- \frac{x^{4}}{2} x$ を掛けます。

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ステップ 1.7.2.1

$x$ と $\frac{x^{4}}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

ステップ 1.7.2.2

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.2.2.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

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ステップ 1.7.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

ステップ 1.7.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

ステップ 1.7.2.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

ステップ 3

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$3$ および $0$ で $\frac{1}{5} x^{5}$ の値を求めます。

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

ステップ 8.2

$3$ および $0$ で $\frac{1}{6} x^{6}$ の値を求めます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $5$ 乗します。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{5}$ と $243$ をまとめます。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.5

$0$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.6

$\frac{243}{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.7

$\frac{3}{2}$ に $\frac{243}{5}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.8

$3$ に $243$ をかけます。

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.9

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.10

$3$ を $6$ 乗します。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.11

$\frac{1}{6}$ と $729$ をまとめます。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.12

$729$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.12.1

$3$ を $729$ で因数分解します。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.12.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

ステップ 8.3.13

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

ステップ 8.3.14

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

ステップ 8.3.15

$0$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

ステップ 8.3.16

$\frac{243}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

ステップ 8.3.17

$\frac{243}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.18

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

ステップ 8.3.19

$\frac{729}{10}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

ステップ 8.3.20

$- \frac{243}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 8.3.21

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $20$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.21.1

$\frac{729}{10}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 8.3.21.2

$10$ に $2$ をかけます。

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 8.3.21.3

$\frac{243}{4}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

ステップ 8.3.21.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

ステップ 8.3.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

ステップ 8.3.23

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.23.1

$729$ に $2$ をかけます。

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

ステップ 8.3.23.2

$- 243$ に $5$ をかけます。

$\frac{1458 - 1215}{20}$

ステップ 8.3.23.3

$1458$ から $1215$ を引きます。

$\frac{243}{20}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{243}{20}$

10進法形式：

$12.15$

帯分数形：

$12 \frac{3}{20}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例