微分積分例

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + 2 x^{2}$ とします。次に $d u = 4 x d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + 2 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + 2 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$0 + 4 x$

ステップ 1.1.4

$0$ と $4 x$ をたし算します。

$4 x$

ステップ 1.2

$u = 1 + 2 x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + 2 x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1.1.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.5.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

ステップ 1.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

ステップ 1.5.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 1 + 8$

ステップ 1.5.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

ステップ 2.2

$4$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$9$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

ステップ 6.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

ステップ 6.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

ステップ 6.2.5

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

ステップ 6.2.6

$\frac{1}{4}$ に $\frac{8}{9}$ をかけます。

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

ステップ 6.2.7

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{8}{36}$

ステップ 6.2.8

$8$ と $36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 (2)}{36}$

ステップ 6.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.8.2.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

ステップ 6.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

ステップ 6.2.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{9}$

10進法形式：

$0.\overline{2}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例