微分積分例

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

ステップ 1

$2$ を $4 x + 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

ステップ 1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

ステップ 1.3

$2$ を $2 (2 x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

ステップ 3

$u = x^{2} + x + 5$ とします。次に $d u = (2 x + 1) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x^{2} + x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{2} + x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.1.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 1 + 0$

ステップ 3.1.6

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 1$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 5

簡約します。

$2 \ln (| u |) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{2} + x + 5$ で置き換えます。

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$

微分積分 例

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