微分積分例

$r e^{r t}$

ステップ 1

$r$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $r e^{r t}$ の微分係数は $r \frac{d}{d t} [e^{r t}]$ です。

$r \frac{d}{d t} [e^{r t}]$

ステップ 2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = r t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r t$ とします。

$r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r t])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$r (e^{u} \frac{d}{d t} [r t])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $r t$ で置き換えます。

$r (e^{r t} \frac{d}{d t} [r t])$

ステップ 3

$r$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $r t$ の微分係数は $r \frac{d}{d t} [t]$ です。

$r (e^{r t} (r \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 4

$r$ を $1$ 乗します。

$r^{1} r (e^{r t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5

$r$ を $1$ 乗します。

$r^{1} r^{1} (e^{r t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r^{1 + 1} (e^{r t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$r^{2} (e^{r t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$r^{2} (e^{r t} \cdot 1)$

ステップ 9

$e^{r t}$ に $1$ をかけます。

$r^{2} e^{r t}$

微分積分 例