微分積分例

$y = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{4})]$

ステップ 1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x + \frac{π}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + \frac{π}{4}$ とします。

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + \frac{π}{4}$ で置き換えます。

$- 4 (- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$4 (\sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x + \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ です。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 1.3.4

$\frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

ステップ 1.3.5.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sin (x + \frac{π}{4})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (x + \frac{π}{4})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (x + \frac{π}{4}))$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + \frac{π}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + \frac{π}{4}$ とします。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + \frac{π}{4}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $x + \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ です。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.3.3

$\frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

ステップ 2.3.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

ステップ 4

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$4 \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (x + \frac{π}{4})}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (x + \frac{π}{4})$ を $1$ で割ります。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x + \frac{π}{4} = 0$

ステップ 7

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x + \frac{π}{4} = π$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$x = π - \frac{π}{4}$

ステップ 9.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 9.2.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 9.2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 9.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 9.2.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 10

方程式 $x + \frac{π}{4} = 0$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

ステップ 11

$x = - \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

公分母の分子をまとめます。

$4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

ステップ 12.2

$- π$ と $π$ をたし算します。

$4 \cos (\frac{0}{4})$

ステップ 12.3

$0$ を $4$ で割ります。

$4 \cos (0)$

ステップ 12.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \cdot 1$

ステップ 12.5

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 13

$x = - \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{π}{4}$ は極小値です

ステップ 14

$x = - \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $- \frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{- π + π}{4})$

ステップ 14.2.2

$- π$ と $π$ をたし算します。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (\frac{0}{4})$

ステップ 14.2.3

$0$ を $4$ で割ります。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cos (0)$

ステップ 14.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4 \cdot 1$

ステップ 14.2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

ステップ 14.2.6

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 16.1

公分母の分子をまとめます。

$4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

ステップ 16.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

ステップ 16.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.3.1

共通因数を約分します。

$4 \cos (\frac{4 π}{4})$

ステップ 16.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$4 \cos (π)$

ステップ 16.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$4 (- \cos (0))$

ステップ 16.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.6

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 16.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot - 1$

ステップ 16.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 17

$x = \frac{3 π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{4}$ は極大値です

ステップ 18

$x = \frac{3 π}{4}$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{3 π + π}{4})$

ステップ 18.2.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

ステップ 18.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (\frac{4 π}{4})$

ステップ 18.2.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cos (π)$

ステップ 18.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- \cos (0))$

ステップ 18.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 18.2.6

$- 4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 \cdot - 1$

ステップ 18.2.6.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

ステップ 18.2.7

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 19

$f (x) = - 4 \cos (x + \frac{π}{4})$ の極値です。

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ は極小値です

$(\frac{3 π}{4}, 4)$ は極大値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例