微分積分例

$g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$

ステップ 1

関数 $G (x)$ は、微分係数 $g (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$G (x) = \int g (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$G (x) = \int 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

ステップ 4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ です。

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int π d x$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{3}{5}$ と $x^{\frac{5}{3}}$ をまとめます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int π d x$

ステップ 9.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int π d x$

ステップ 9.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int π d x$

ステップ 9.2.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int π d x$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int π d x$

ステップ 9.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int π d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int π d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + π x + C$

ステップ 12

簡約します。

$3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$

ステップ 13

答えは関数 $g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$ の不定積分です。

$G (x) =$ $3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$

微分積分 例

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