微分積分例

$2^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- x^{- 2})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2^{\frac{1}{x}} \ln (2) (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$2^{\frac{1}{x}}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\ln (2) (- \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}})$

ステップ 3.2.2

$\ln (2)$ と $\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$- \frac{\ln (2) \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2^{\frac{1}{x}} \ln (2)}{x^{2}}$

微分積分 例