微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (n x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (n x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$

ステップ 1.2

$\frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$ を積として書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (n x)}{\cos (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}$ を $\tan (n x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \csc (x)$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x) \csc (x)$

ステップ 3

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\tan (n x) \csc (x)$ を $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2

$n$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.3.1

$n$ に $0$ をかけます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2.1.2.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 3.2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 \sin (x)}$

ステップ 3.2.1.3.1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}$

ステップ 3.2.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}$

ステップ 3.2.1.3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 3.2.1.3.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = n x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $n x$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $n x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.3

$n$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $n x$ の微分係数は $n \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.5

$n$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.6

$\sec^{2} (n x) n$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 3.2.3.7

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

ステップ 3.2.3.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

ステップ 3.2.3.9

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.2.3.10

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (n x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (n x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5

$n$ と $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.7

まとめる。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

ステップ 3.2.8

$n$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

ステップ 3.2.9

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

ステップ 3.2.10

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

ステップ 3.2.11

$\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ を $\sec^{2} (n x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.2.12

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.2.13

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.2.14

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.2.15

$n$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{-}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$n$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.3.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

ステップ 3.3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (n x)$ から極限値外側に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{-}} \sec (n x))}^{2}$

ステップ 3.3.5

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{-}} n x)$

ステップ 3.3.6

$n$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

ステップ 3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

ステップ 3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

ステップ 3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

ステップ 3.5.2

$n$ に $1$ をかけます。

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

ステップ 3.5.3

$n$ に $0$ をかけます。

$n \cdot \sec^{2} (0)$

ステップ 3.5.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$n \cdot 1^{2}$

ステップ 3.5.5

1のすべての数の累乗は1です。

$n \cdot 1$

ステップ 3.5.6

$n$ に $1$ をかけます。

$n$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x) \csc (x)$

ステップ 5

右側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\tan (n x) \csc (x)$ を $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{+}} n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2.1.2.1.2

$n$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.3.1

$n$ に $0$ をかけます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2.1.2.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

ステップ 5.2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

ステップ 5.2.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 \sin (x)}$

ステップ 5.2.1.3.1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

ステップ 5.2.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

ステップ 5.2.1.3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 5.2.1.3.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = n x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $n x$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $n x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.3

$n$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $n x$ の微分係数は $n \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.5

$n$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.6

$\sec^{2} (n x) n$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

ステップ 5.2.3.7

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

ステップ 5.2.3.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

ステップ 5.2.3.9

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.2.3.10

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (n x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (n x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.5

$n$ と $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.7

まとめる。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

ステップ 5.2.8

$n$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

ステップ 5.2.9

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

ステップ 5.2.10

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

ステップ 5.2.11

$\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ を $\sec^{2} (n x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.2.12

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.2.13

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.2.14

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.2.15

$n$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$n$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.3.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

ステップ 5.3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (n x)$ から極限値外側に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \sec (n x))}^{2}$

ステップ 5.3.5

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{+}} n x)$

ステップ 5.3.6

$n$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

ステップ 5.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

ステップ 5.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

ステップ 5.5

答えを簡約します。

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ステップ 5.5.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

ステップ 5.5.2

$n$ に $1$ をかけます。

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

ステップ 5.5.3

$n$ に $0$ をかけます。

$n \cdot \sec^{2} (0)$

ステップ 5.5.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$n \cdot 1^{2}$

ステップ 5.5.5

1のすべての数の累乗は1です。

$n \cdot 1$

ステップ 5.5.6

$n$ に $1$ をかけます。

$n$

ステップ 6

左側極限が右側極限に等しいので、極限は $n$ に等しいです。

$n$

微分積分 例

微分積分例