微分積分例

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

ステップ 1

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

ステップ 4

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$u^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

ステップ 7.2

${(u^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

ステップ 7.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \int u^{- 5} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- 5}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ です。

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$u^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

ステップ 9.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 4}$ を分母に移動させます。

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{4 u^{4}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ を掛けます。

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

ステップ 11.2

分数を分解します。

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

ステップ 11.3

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ を $\sec^{4} (x)$ に変換します。

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

ステップ 11.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

ステップ 11.5

$\frac{1}{4}$ と $\sec^{4} (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

ステップ 11.6

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

微分積分 例

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