微分積分例

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$

ステップ 1

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1} d x$

ステップ 4

$x^{2} + 2 x + 3$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

ステップ 4.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$

ステップ 4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

ステップ 4.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$

ステップ 4.7

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$

ステップ 4.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$
					+	$x$	+	$1$

ステップ 4.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$
					-	$x$	-	$1$

ステップ 4.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$3$
					-	$x$	-	$1$
							+	$2$

ステップ 4.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int x + 1 + \frac{2}{x + 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x d x + \int d x + \int \frac{2}{x + 1} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{2}{x + 1} d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{2}{x + 1} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 9

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 \ln (| u |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 \ln (| x + 1 |) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

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