微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.8.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.8.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.8.1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.8.1.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.8.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $3 \ln (x + 1) - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \ln (x + 1)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.7

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.8

$3$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

ステップ 3.8.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

ステップ 3.9

簡約します。

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ステップ 3.9.1

項をまとめます。

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ステップ 3.9.1.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

ステップ 3.9.1.2

$- 3$ と $\frac{x + 1}{x + 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$3$ を $3 - 3 (x + 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.1.2

$3$ を $- 3 (x + 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.1.3

$3$ を $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.5

$- x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.6

指数をまとめます。

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ステップ 3.9.2.6.1

負をくくり出します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

ステップ 3.9.2.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

ステップ 3.9.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

ステップ 5

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

ステップ 6

$x$ 値が $0$ に左から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\infty$

ステップ 7

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく減少します。

$- \infty$

ステップ 9

左側極限と右側極限が等しくないので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

微分積分例