微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} - 12 x^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} - 12 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- \frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{10} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 5$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.5

$\frac{- 5}{10}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.6

$- 5$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$5$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{x^{4}}{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{4}}{2} + 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{3}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.4.3

$3$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 36 x^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} - 36 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{4}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 36 (2 x)$

ステップ 1.1.2.4.3

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$ です。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 72 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 2 x$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 72 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$- 2 x$ を $- 72 x$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 12 x)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x (36)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

ステップ 1.2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 6^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

ステップ 1.2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 2 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.2.4

$a = x$ と $b = 6$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 2 x {(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

${(x - 6)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

${(x - 6)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 6)}^{2} = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について ${(x - 6)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 1.2.6

最終解は $- 2 x {(x - 6)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

指数を足して $- 2$ に ${(- 2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$- 2$ に ${(- 2)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1.1.1.1

$- 2$ を $1$ 乗します。

$f'' (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{4} + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 2) = 16 + 24 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = 16 + 24 \cdot 4 - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.4

$24$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = 16 + 96 - 72 \cdot - 2$

ステップ 4.2.1.5

$- 72$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = 16 + 96 + 144$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$16$ と $96$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 112 + 144$

ステップ 4.2.2.2

$112$ と $144$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 256$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $256$ です。

$256$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, 6)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{3} + 24 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = - 2 \cdot 27 + 24 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $27$ をかけます。

$f'' (3) = - 54 + 24 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 5.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = - 54 + 24 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

ステップ 5.2.1.4

$24$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = - 54 + 216 - 72 \cdot 3$

ステップ 5.2.1.5

$- 72$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = - 54 + 216 - 216$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 54$ と $216$ をたし算します。

$f'' (3) = 162 - 216$

ステップ 5.2.2.2

$162$ から $216$ を引きます。

$f'' (3) = - 54$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 54$ です。

$- 54$

ステップ 5.3

$f'' (3)$ が負なので、区間 $(0, 6)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 6)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(6, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{3} + 24 {(8)}^{2} - 72 \cdot 8$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$f'' (8) = - 2 \cdot 512 + 24 {(8)}^{2} - 72 \cdot 8$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $512$ をかけます。

$f'' (8) = - 1024 + 24 {(8)}^{2} - 72 \cdot 8$

ステップ 6.2.1.3

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = - 1024 + 24 \cdot 64 - 72 \cdot 8$

ステップ 6.2.1.4

$24$ に $64$ をかけます。

$f'' (8) = - 1024 + 1536 - 72 \cdot 8$

ステップ 6.2.1.5

$- 72$ に $8$ をかけます。

$f'' (8) = - 1024 + 1536 - 576$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1024$ と $1536$ をたし算します。

$f'' (8) = 512 - 576$

ステップ 6.2.2.2

$512$ から $576$ を引きます。

$f'' (8) = - 64$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 64$ です。

$- 64$

ステップ 6.3

$f'' (8)$ が負なので、区間 $(6, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 6)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例