微分積分例

$2 x + 5 - y = x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 x + 5 - y) = \frac{d}{d x} (x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x + 5 - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 + 0 - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 + 0 - y'$

ステップ 2.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 - y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 - y' = x y' + y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $x y'$ を引きます。

$2 - y' - x y' = y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- y' - x y' = y - 2$

ステップ 5.3

$y'$ を $- y' - x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 1 - x y' = y - 2$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- x y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 1 + y' (- x) = y - 2$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' \cdot - 1 + y' (- x)$ で因数分解します。

$y' (- 1 - x) = y - 2$

ステップ 5.4

$y' (- 1 - x) = y - 2$ の各項を $- 1 - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- 1 - x) = y - 2$ の各項を $- 1 - x$ で割ります。

$\frac{y' (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{y}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- 1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{y}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{- 1 - x} + \frac{- 2}{- 1 - x}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y - 2}{- 1 - x}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y - 2}{- 1 (1) - x}$

ステップ 5.4.3.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y - 2}{- 1 (1) - (x)}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y - 2}{- 1 (1 + x)}$

ステップ 5.4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y - 2}{1 + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2}{1 + x}$

微分積分 例

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